Como as Coisas Rodam

Exerćıcio 1.1. Suponha que f : R → R preserva a distância Euclidiana e fixa a origem. Mostre que: (1) f leva segmentos de recta em segmentos de recta; (2) f(λx) = λf(x) para λ ∈ R e x ∈ R; (3) f leva o ponto médio de um segmento no ponto médio da sua imagem; (4) f(x+ y) = f(x) + f(y) para x,y ∈ R; (5) 〈f(x), f(y)〉 = 〈x,y〉 para x,y ∈ R; (6) f(x) = Sx para x ∈ R, onde S ∈ M3×3 é ortogonal (ou seja SS = I); (7) Se f preserva orientações então detS = 1.